第五章 第四节　数列求和-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　数列求和 授课提示：对应学生用书第138页 1．等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列的前n项和公式 3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法： 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式： (1)若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为d(d≠0)， 则＝； (2)＝； (3)＝－； (4)loga＝loga(n＋1)－logan(a＞0且a≠1)． 3．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. (4)12＋22＋…＋n2＝. (5)13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝. 1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　) A．1 B. C. D. 答案：B 2．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)． 答案：－ 3．(2－1)＋(22－2)＋…＋(210－10)＝________. 答案：211－57 4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________. 答案：9 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是________． 答案：33 授课提示：对应学生用书第139页 题型一　分组、并项转化法求和　 类型 1　分组转化求和 [例1]　(2023·武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有Sn＝2an＋n－3. (1)证明：数列{an－1}为等比数列； (2)求数列的前n项和Tn. [解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝2a1－2，∴a1＝2. 当n≥2时，Sn＝2an＋n－3，Sn－1＝2an－1＋n－4，两式相减得an＝2an－2an－1＋1， 即an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)． 又a1－1＝1≠0，∴{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)得an－1＝2n－1，故an＝2n－1＋1， ∴＝＝＋， ∴Tn＝＋＋…＋＝×n＋＝＋·＝－. 类型 2　并项转化法求和 [例2]　(2020·全国卷Ⅰ)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. [解析]　法一：因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1， 所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1， 所以a2＋a4＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{an}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24， a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102， 所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7. 法二：同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448. 当n为奇数时，有an＋2－an＝3n－1， 由累加法得an＋2－a1＝3(1＋3＋5＋…＋n)－＝(1＋n)·－＝n2＋n＋， 所以an＋2＝n2＋n＋＋a1， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝a1＋＋＋＋＋＋＋＝8a1＋392＝448，解得a1＝7. [答案]　7 　方法总结 方法 解读 适合题型 分组 转化法 数列的每一项都可拆分