第四章 第一节　平面向量的概念及线性运算-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第一节　平面向量的概念及线性运算 授课提示：对应学生用书第107页 1．向量的有关概念 (1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，. (2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫做向量的模． (3)几个特殊向量： 长度(模) 方向 零向量 0 任意 单位向量 1 任意 相等向量 相等 相同 相反向量 相等 相反 平行向量 相同或相反 2.向量的加法、减法与数乘 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算　 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 4．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是(x,0)，a在y轴上的坐标是(0，y)． 6．平面向量的坐标运算 向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量的数乘 设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 7.平面向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0. 1．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. 2．若＝λ，则A，B，C三点共线． 3．P为线段AB的中点⇔＝(＋)． 4．G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔＝(＋＋)(O是平面内任意一点)． 5．P为△ABC的外心⇔||＝||＝||. 6．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 7．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 1．已知＝(－m，－5n)，＝(－2m,8n)，＝(3m，－3n)，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线 答案：A 2．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　) A. B．2 C．5 D．50 答案：A 3．已知△ABC，设D是BC边的中点，用与表示向量，则＝________. 答案：＋ 4．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 答案：矩形 5．设a，b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________. 答案：－ 授课提示：对应学生用书第108页 题型一　平面向量的基本概念　 1．给出下列五个命题： (1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； (2)若|a|＝|b|，则a＝b； (3)在▱ABCD中，一定有＝； (4)若m＝n，n＝p，则m＝p； (5)若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故(1)不正确；|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故(2)不正确；(3)(4)正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故(5)不正确． 答案：B 2．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； (3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； (4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误的命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：(1)错误．两向量