第三章 第三节　和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换 授课提示：对应学生用书第88页 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝. (6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．倍角公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α. (3)T2α：tan 2α＝. 公式的重要变形 (1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. (2)半角公式(不要求记忆)： ①sin ＝±. ②cos ＝±. ③tan ＝±＝＝. (3)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.　　 (4)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). 1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：A 2．已知sin＝，α∈，则sin α的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 4．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则tan 2α＝________. 答案：－ 5．f(x)＝sin(x＋3π)－3cos x的最小值为________． 答案：－ 授课提示：对应学生用书第89页 题型一　两角和、差及倍角公式的直接应用　 类型 1　给值(角)求值 [例1]　(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　) A. B．－ C. D．－ [解析]　因为0＜α＜，所以＜α＋＜. 又cos＝， 所以sin＝ ＝ ＝. 因为－＜β＜0，所以＜－＜. 又sin＝， 所以cos＝ ＝ ＝， 所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝. [答案]　C (2)(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________. [解析]　因为α＋β＝，所以β＝－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝，所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z.因为sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝. [答案]　　 类型 2　给值求角 [例2]　(1)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A. B.或 C．－ D.或或－ [解析]　∵tan α＝>0，且α∈(0，π)， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝>0， ∴2α∈. ∵tan β＝－<0，且β∈(0，π)， ∴β∈， ∴2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝＝＝1，∴2α－β＝－. [答案]　C (2)已知cos α＝，cos(α－β)＝.若0＜β＜α＜，则β＝________. [解析]　由cos α＝，0＜α＜， 得sin α＝ ＝ ＝. 又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜， ∴sin(α－β)＝ ＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵β∈，∴β＝. [答案]　 方法总结 1．应用三角公式化简求值的策略 (1)运用两角和、差及倍角公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)运用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)运用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等． 2．“给值求角” 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．