第二章 第二节　函数的单调性与最值-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　函数的单调性与最值 授课提示：对应学生用书第17页 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义： 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义： 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．单调性的两种等价形式 (1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 3．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 注意：f(x)的最大值记为f(x)max，f(x)的最小值记为f(x)min. 1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m＞　　 B．m＜ C．m＞－　 D．m＜－ 答案：B 2．函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)和(1，＋∞) 答案：D 3．下列函数中是减函数且值域为R的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－ C．f(x) ＝ln|x| D．f(x) ＝－x3 答案：D 4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 5．函数f(x)＝在[2,6]上的最大值和最小值分别是________． 答案：4， 授课提示：对应学生用书第18页 题型一　判断简单函数的单调性、求单调区间　 [典例1]　(1)(2023·济宁模拟)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)．若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．[－1,1) D．(－3，－1] [解析]　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}．根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定义域(－3,1)内的减区间是[－1,1)，∴f(x)的单调递增区间为[－1，1)． [答案]　C (2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递减区间为________． [解析]　f(x)＝ ＝ 画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． [答案]　[－1,0]和[1，＋∞) (母题变式)若典例1(2)中函数改为：f(x)＝|－x2＋2x＋1|，则函数f(x)的单调递减区间为________________． 解析：作出函数y＝|－x2＋2x＋1| ＝的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)． 答案：(－∞，1－)和(1,1＋) 方法总结 1．确定已知解析式的函数单调区间的三种方法 2．对于单调区间间断的，不能用“∪”连接起来． [典例2]　(一题多法)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性． [解]　法一(定义法)：当a∈(1,3)时，函数f(x)＝ax2＋在[1,2]上单调递增． 证明：设1≤x1＜x2≤2， 则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1). 由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4， 1＜x1x2＜4，－1＜－＜－. 又因为1＜a＜3， 所以2＜a