第二章 微专题2　函数“隐零点”问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

微专题2　函数“隐零点”问题 授课提示：对应学生用书第70页 若函数的零点或导函数的零点存在，但无法直接求解出来，我们称此零点为“隐零点”．虽不能通过计算求解得出隐零点的具体值，但可以与函数零点存在定理结合，分析出隐零点所在区间．可以先设而不求，确定等式，进而整体代换，达到消元化简的目的；还可以利用函数工具或导函数工具，以及不等式放缩的方法，进一步推理． [典例]　设函数f(x)＝ex－ax －2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． [解]　(1)f′(x)＝ex－a，故当a≤0时， 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，令f′(x)＝0， 得x＝ln a， 故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)， 单调递增区间是(ln a，＋∞)． (2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0， 即k<x＋(x>0)恒成立． 令g(x)＝＋x(x>0)． 得g′(x)＝＋1＝(x>0)． 由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数． 又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)． 当x∈(0，α)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(α)＝＋α. 又eα＝α＋2且α∈(1,2)， 则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)， 所以k的最大值为2. [点评]　函数的隐零点问题可采用先猜后解的方法，如出现ln x时常猜x＝1，出现ex时常猜x＝0或x＝ln x0.若求不出可“设而不求”进行分析解决． 设f(x)＝. (1)若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f′(x)＝－(x>0)， 令f′(x)＝0，得x＝1. 由f(x)在(a，a＋1)上有极值， 得 即0<a<1. 所以实数a的取值范围是(0,1)． (2)由方程f(x)＝x2－2x＋k，得f(x)－x2＋2x＝k. 设g(x)＝f(x)－x2＋2x， 则g′(x)＝2(1－x)－. 要求函数g(x)的单调区间，只需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解． 易得g′(1)＝0，且当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0， 所以函数g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，得g(x)max＝g(1)＝2. 进而可得函数g(x)的值域是(－∞，2]， 所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]． 　　　　　　　　　　　　函数与导数综合问题的突破策略 授课提示：对应学生用书第71页 (一)构造辅助函数求解导数问题的策略 1．“比较法”构造函数 当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)＝x3，g(x)＝ln x，要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时，可以采用类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数．此外，在能够说明g(x)＞0(f(x)＞0)的前提下，也可以采用类比作商法，构造函数h(x)＝，证明h(x)min≥1(φ(x)max≤1)． [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线的斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)求证：当x＞0时，x2＜ex； (3)求证：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex. [解]　(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a， 则f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 所以，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故当x＝ln 2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝ex－x2(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)≥f(ln 2)＞0， 所以g(x)为增函数， 因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0， 即x2＜ex. (3)证明：令h(x)＝x3－ex(x∈(0，＋∞))， 则h′(x)＝x2－ex， 由(2)知，当x＞0时，x2＜ex， 所以h′