第二章 第一节　函数及其表示-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第一节　函数及其表示 授课提示：对应学生用书第13页 1．函数的概念 (1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的三要素： 函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中 ①定义域：自变量x的取值范围； ②值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析式法、列表法、图象法． 3．分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 1．两种对应关系 f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集． 3．函数的三要素与相等函数 函数的三要素为定义域、对应关系和值域，而值域是由定义域和对应关系确定的，故如果两个函数的定义域、对应关系分别相同，则这两个函数为相等函数． 1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[0,2) B．(2，＋∞) C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 答案：C 2．若f(x)＝x2＋bx＋c且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________. 答案：x2－4x＋3 3．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________. 答案：－7 4．已知函数f(x)＝则f＝________. 答案： 5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________________． 答案： 授课提示：对应学生用书第14页 题型一　函数的定义域问题　 1．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为(　　) A．[－1,1] B．[1,2] C．[10,100] D．[0，lg 2] 解析：因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]． 答案：C 2．(2023·成都模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(0,2] D．[0,2) 解析：由题意可知，当x∈R时，不等式ax2－2ax＋2>0恒成立． ①当a＝0时，ax2－2ax＋2＝2>0显然成立，故a＝0符合题意； ②当a≠0时，要想x∈R时，不等式ax2－2ax＋2>0恒成立，只需满足a>0且(－2a)2－4·a·2<0成立即可，解得0<a<2. 综上可得，实数a的取值范围是[0,2)． 答案：D 3．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：由题意得解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 方法总结 1．函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，其定义域就是指使这个式子有意义的实数的集合． 2．一般地： (1)y＝，是求f(x)≠0的x的集合； (2)y＝，是求f(x)≥0的x的集合； (3)y＝logaf(x)，是求f(x)＞0的x的集合． 3．求抽象函数定义域的方法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．　　 题型二　简单函数的值域　 1．(配方法)若函数y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]，则y的取值范围为________． 解析：y＝32＋. ∵x∈[1,3]， ∴当x＝1时，ymin＝3－1＋2＝4， 当x＝3时，ymax＝3×32－3＋2＝26， ∴y的取值范围为[4,26]． 答案：[4,26] 2．(分离常数法)若函数y＝，则函数的值域为________． 解析：y＝＝＝3＋. 由于≠0， ∴y≠3， 故函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，3)∪(3，＋∞) 3．(换元法)函数f(x)＝x＋ 的值域为________． 解析：由1－x2≥0， 可得－1≤x≤1. 可设x＝cos α，α∈[0，π]， 则＝＝sin α， 所以y＝cos α＋sin α＝sin. 由α∈[0，π]，知α＋∈， 则sin∈，则sin∈