第二章 第四节　幂函数、二次函数-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　幂函数、二次函数 授课提示：对应学生用书第26页 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较： (3)常见的五种幂函数的图象和性质： 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 图象 性质 定义域 R R R 值域 R [0，＋∞) R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减； 在[0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 公共点 (1,1) 函数 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)图象与性质： 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 值域 单调性 在x∈ 上单调递增； 在x∈ 上单调递减 在x∈ 上单调递增； 在x∈ 上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 1．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 2．巧记幂函数的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型． 1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A. B．1 C. D．2 答案：C 2．幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图象过点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　) A．[0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，0) 答案：B 3．若f(x)＝x2＋bx＋c的单调递增区间为[－1，＋∞)，则b＝________. 答案：2 4．若x＞1，xa－1＜1，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 5．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值为__________． 解析：函数y＝2x2－6x＋3＝22－的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上为单调递减函数，所以ymin＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 授课提示：对应学生用书第27页 题型一　幂函数的图象和性质　 1．(2023·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　　) A．－1 B．2 C．3 D．2或－1 解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m＝－1时，f(x)＝，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1. 答案：A 2．(2023·荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，把代入函数解析式中，得2α＝，解得α＝－1，∴幂函数f(x)＝x－1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴f(x)是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调递减函数． 答案：A 3．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数， 原不等式等价为 或或 解得＜a＜或a＜－1. 答案：(－∞，－1)∪ 方法总结 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．　　 题型二　二次函数的图象与性质　 类型 1　二次函数的图象 [例1]　二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，图象过点A(－3，0)，