第二章 第十一节　导数在函数研究中的应用-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第十一节　导数在函数研究中的应用 第一课时　函数的导数与单调性 授课提示：对应学生用书第56页 函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． 1．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 答案：A 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为__________． 解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，解得x>2.故所求函数的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 3．函数f(x)＝cos x＋xsin x，x∈(0，π)的单调递增区间为________． 答案： 4．函数f(x)＝x3＋ax在R上为增函数，则a的取值范围为________． 答案：[0，＋∞) 5．函数f(x)＝x2(x－a)在(2,3)上不单调，则a的取值范围为________． 答案： 授课提示：对应学生用书第57页 题型一　用导数讨论函数的单调性，求单调区间　 类型 1　用导数求简单函数的单调区间 [例1]　(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.和(1，＋∞) B．(0,1)和(2，＋∞) C.和(2，＋∞) D．(1,2) [解析]　函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)． [答案]　C 类型 2　讨论含参数的函数的单调性 [例2]　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a＞0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． [解]　∵x＞0， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝＝. 令f′(x)＝0，∴x＝1或x＝. ①当0＜a＜1时，∴＞1， ∴当x∈(0,1)和时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a＞1时，0＜＜1， ∴当x∈和(1，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0＜a＜1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． (母题变式)若将本例2中参数a的范围改为：a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性． 解：a＞0时，讨论同例2解析； 当a≤0时，ax－1＜0， ∴x∈(0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 方法总结 1．根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f′(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点： (1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域． (2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f′(x)． (3)讨论导函数的符号，不等式f′(x)>0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f′(x)<0的解集就是函数f(x)的单调递减区间． 2．对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　　 1．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)