第二章 第十二节　导数的综合应用-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第十二节　导数的综合应用 授课提示：对应学生用书第63页 1．利用导数证明不等式 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数．同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)． 2．利用导数解决不等式的恒成立问题 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3．利用导数研究函数的零点 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 1．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．　　 2．给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． 3．函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．　 4．没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 第一课时　导数与不等式问题 授课提示：对应学生用书第64页 题型一　不等式证明　 类型 1　构造函数法 [例1]　(2023·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. [解]　(1)因为f(x)＝1－(x＞0)， 所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx， 所以g′(x)＝－－－b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1， 解得a＝－1，b＝－1. (2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x， 则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)， 则h(1)＝0，h′(x)＝＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以当x≥1时，h(x)≥h(1)＝0， 即1－－－＋x≥0， 所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 类型 2　分析函数法 [例2]　(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. [解]　(1)f′(x)＝－a(x＞0)． ①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0；当x＞时，f′(x)＜0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：因为x＞0， 所以只需证f(x)≤－2e. 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x＞0)， 则g′(x)＝， 所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e， 即xf(x)－ex＋2ex≤0. 方法总结 1．利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min证得不等式． 2．证明f(x)＞g(x)，可以构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后利用h(x)的最值证明不等式． 3．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．　　 1．设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0＜x≤2时，f(x)>x. 解：(1)f′(x)＝2ax－ln x－1－，由题意可得 f′(1)＝2a－2＝0，∴a＝1. (2)证明：只需证：x－－ln x>， 令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋， 由g′(x)＝1－＝0解得：x＝1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故g(x)min＝g(1)＝1. 由h′(x)＝， 可知h(x)在(0,2]上单调递增， 故h(x)max＝h(2)＝<1＝g(x)min， 故h(x)＜g(x)， 即f(x)>x. 2．已知函数f(x