第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，文科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　函数的奇偶性与周期性 授课提示：对应学生用书第21页 1．函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 奇函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用的结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)． 3．函数对称性问题的结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 答案：D 2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________. 答案：1－e 3．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________. 答案：1 4．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________. 答案：1 5．函数f(x)＝的对称中心为________． 答案：(0,0) 授课提示：对应学生用书第22页 题型一　函数奇偶性的判断及应用　 1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：法一：f(x)＝－1＋，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x－1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f(x－1)＋1是奇函数． 法二：选项A，f(x－1)－1＝－2，此函数为非奇非偶函数； 选项B，f(x－1)＋1＝，此函数为奇函数；选项C，f(x＋1)－1＝，此函数为非奇非偶函数；选项D，f(x＋1)＋1＝，此函数为非奇非偶函数． 答案：B 2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故选项A错误；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故选项B错误；对于选项C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故选项C正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)·g(x)|是偶函数，故选项D错误． 答案：C 3．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝________，b＝________. 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称． 由已知得x≠1，∴x≠－1，即当x＝－1时，＝0， ∴a＋＝0，∴a＝－，此时f(x)＝ln＋b. ∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义， ∴f(0)＝0，即ln＋b＝ln ＋b＝0， ∴b＝