专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(湘教版）

专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 11 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 18 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 28 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第四象限时，求的最大面积； (3)当点在第一象限，且时，求出点的坐标． 【变式训练】 1．（2023春·河北沧州·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与y轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大并求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知，抛物线经过、两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于第一象限时，连接，，得到，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)当点P位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式； 3．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【变式训练】 1．（2023·福建宁德·模拟预测）经过点，，、的抛物线与轴只有一个公共点，其中． (1)求抛物线的对称轴； (2)求抛物线所对应的函数表达式； (3)连接，，若与垂直，交轴于点， ①求点坐标； ②求面积的最小值． 2．（2023·广西玉林·统考一模）我们不妨约定：二次函数与轴交于、两点，其中为顶点，当为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”． (1)证明为“等腰直角函数”； (2)如图，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过中点的直线与二次函数相交于，两点，求面积的最小值； (3)如图，、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点，且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为时，求出点的坐标． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，；矩形的边在线段的上，点A、D在抛物线上． (1)求这条抛物线的解析式； (2)设点D的横坐标是m，矩形的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． (1)求抛物线的表达式； (2)当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； (3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． 3．（2023·四川泸州·统考一模）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值