专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(华东师大版）

专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 11 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 17 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 27 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值； (3)当时，抛物线有最小值5，求的值． 【变式训练】 1．（2023春·河北沧州·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与y轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大并求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知，抛物线经过、两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于第一象限时，连接，，得到，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)当点P位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式； 3．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第四象限时，求的最大面积； (3)当点在第一象限，且时，求出点的坐标． 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：    (1)运动开始后第几秒时的面积等于． (2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．    (1)求a的值． (2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围． (3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由． 2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方