3.2双曲线 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：双曲线 考 点 考纲内容 重难点题型预测 双曲线 （1）利用双曲线的实际背景,了解双曲线在解决实际问题中的作用． （2）双曲线的定义、几何图形性质和标准方程． （3）理解应用数形结合的思想． 利用双曲线的定义，求解双曲线的标准方程、离心率（的具体值、最值或取值范围）、渐近线方程等 常考题型：以选择、填空为主． 知识点一、双曲线的第一定义 1．文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的差等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． 2．代数式形式：集合 知识点二、双曲线的第二定义 1．若动点P（x,y）和定点F（c,0）的距离与它到定直线:的距离的比是常数（0<c<a）,则动点P的轨迹是双曲线． 2．双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点 （±c,0） （0，±c） 焦距 |F1F2|＝2c（c2＝a2+b2） 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a[来源:Z*xx*k．Com] 顶点 实轴顶点（±a,0），虚轴顶点（0，±b） 实轴顶点（0，±a），虚轴顶点（±b,0） 对称性 曲线关于x轴、y轴、原点对称 离心率 e＝∈（1，+），其中c＝ 渐近线 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0） 【注1】 求双曲线方程的常用方法： （1）若与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ（λ≠0）； （2）若过两个已知点则设为＋＝1（mn<0）． （3）若与双曲线－＝1共焦点或共离心率时，求标准方程可参照椭圆的求解方法。 【注2】 1．双曲线的标准方程中a、b（a＞0，b＞0）与椭圆标准方程中a，b的要求相似． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（1，）；渐近线斜率 0<k<1 或 -1<k<0 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝ （等轴双曲线）；渐近线斜率k=1 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞ 渐近线斜率k>1或 k<-1 2．在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率 －＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 【典型例题】 例1双曲线的实轴长是（ ） A． B． C． D． 例2已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 例3已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 例4如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 例5已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为，为的中点，为坐标原点，则等于（ ） A． B． C． D． 例6已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ） A． B． C． D．2 例7已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 例8已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例9若直线l经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 例11已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例12已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于___________． 例13已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________． 例14直线与双曲线交于A、B两点，若，则______． 例15以直线为渐