第九章 第二节　二项式定理-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　二项式定理 授课提示：对应学生用书第246页 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n的二项展开式． 2．二项展开式的通项公式 第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk. 3．二项式系数 (1)定义：二项式系数为：C(k∈{0,1,2，…，n})． (2)二项式系数的性质： 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k<(n∈N*)时，是递增的 当k≥(n∈N*)时，是递减的 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项和取得最大值 各二项式系数和 C＋C＋C＋…＋C＝2n 1．一对易混概念 二项展开式中第r＋1项： (1)二项式系数是C，而不是C. (2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数和等于n. 1．二项式6的展开式中，常数项的值是(　　) A．240 B．60 C．192 D．180 答案：A 2．(x－1)10的展开式中第6项的系数是(　　) A．C B．－C C．C D．－C 答案：D 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 4．二项式(2a3－3b2)10的展开式中各项系数的和为________． 答案：1 5．C＋C＋…＋C＝________. 答案：210 授课提示：对应学生用书第247页 题型一　多项展开式的特定项　 类型 1　二项展开式问题 [例1]　(1)(2023·南京模拟)6的展开式中的常数项为(　　) A．－150 B．150 C．－240 D．240 [解析]　6的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－k·(－2)k·x－＝(－2)kCx6－k.令6－k＝0，解得k＝4，故所求的常数项为T5＝(－2)4·C＝240. [答案]　D (2)8的展开式中的有理项共有______项． [解析]　8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()8－rr＝rCx(r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项． [答案]　3 类型 2　两个多项式积的展开式问题 [例2]　(1)已知在(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 [解析]　(1＋x)5中含x与x2的项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2， ∴x2的系数为10＋5a＝5， ∴a＝－1. [答案]　D (2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． [解析]　(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C＝28，x3y5的系数为C＝56，因此(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. [答案]　－28 类型 3　三项展开式问题 [例3]　(1)在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为　(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 [解析]　法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5， 所以x5y2的系数为CC＝30. 法二：利用排列组合知识求解． (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30. [答案]　C (2)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为__________． [解析]　法一：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3·(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5， 所以x5的系数为CC×25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92. 法二：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC×35＋C(－1)C×34＋C(－1)2C×33＋C×(－1)3C×32＋C×(－1)4C×31＋C×(－1)5C×30＝92. [答案]　92 方法总结 1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式