第九章 第一节　计数原理与排列组合-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第一节　计数原理与排列组合 授课提示：对应学生用书第241页 1．两个计数原理 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法 分类加法 计数原理 有两类不同方案，第1类方案中有m种不同的方法，第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法 分步乘法 计数原理 需要两个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有n种不同的方法 N＝mn种不同的方法 2.排列 3．组合 组合的定义 从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做一个组合 组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素后，所有不同组合的个数 组合数公式 C＝＝＝ 组合数的性质 (1)C＝C； (2)C＋C＝C 1.计数原理的两个不同点 (1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事． (2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分． 2．排列与组合问题 (1)三个原则： ①有序排列、无序组合． ②先选后排． ③复杂问题分类化简或正难则反． (2)两个优先： ①特殊元素优先． ②特殊位置优先． 即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 3．正确理解组合数的性质 (1)C＝C. 从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数． (2)C＋C＝C. 从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法． 1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．6 B．8 C．12 D．16 答案：C 2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 答案：C 3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项． 答案：60 4．如图所示，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线． 答案：32 5．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种． 答案：243 授课提示：对应学生用书第242页 题型一　计数原理的应用　 1．(2023·唐山模拟)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(　　) A．18 B．16 C．12 D．9 解析：根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况；②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况；③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同四位数． 答案：D 2．(2023·广州模拟)如图所示，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开．若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知，不同涂法有360＋120＝480(种)． 答案：C 3．某校实行选科走班制度，小毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，小毅同学选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的上课方法有(　　) 第一节 第二节 第三节 第四节 B层地理2班 A层化学3班 A层地理1班 A层化学4班 A层生物1班 B层化学2班 B层生物2班 B层历史1班 A层物理1班 A层生物3班 A层物理2班 A层生物4班 B层 物理2班 B层 生物1班 B层 物理1班 A层 物理4班 政治1班 A层物理3班 政治2班 政治3班 A.8种 B．10种 C．12种 D．14种 解析：由课程表可知，物理课在A层班级可以上任意一节，生物课在B层班级只能上第二、三节，政治课只能上第一、三、四节，而自习课可以上任意一节． 以在B层班级上生物课为标准可分为两类情形： 第1类，生物课上第二节，则第一、三、四节可以任意排，共有A＝6种不同的上课方法； 第2类，生物课上第三节，则政治课只能上第一、四节，有2种排法，其他课可以任意排，共有2×A＝4种不同的上课方法． 由分类加法计数原理可得共有6＋4＝10种不同的上课方法． 答案：B 方法总结 应用计数