第八章 第八节　曲线与方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第八节　曲线与方程 授课提示：对应学生用书第226页 1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简； (4)查漏补缺． 1．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　) A．y＝16x2 B．y＝－16x2 C．x2＝16y D．x2＝－16y 答案：C 2．在△ABC中，A(0,3)，B(－2，0)，C(2,0)，则中线AO(O为原点)所在的方程为________． 答案：x＝0(0≤y≤3) 3．已知A(－5,0)，B(5,0)，则满足kAC·kBC＝－1的点C的轨迹方程为________________________________________________________________________． 答案：x2＋y2＝25(去掉A，B两点) 4．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4,0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为__________________． 答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1) 5．曲线x2＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形的面积为________． 答案：2＋π 授课提示：对应学生用书第227页 题型一　定义法求轨迹方程　 [典例]　(1)(2023·呼和浩特模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [解析]　设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆． [答案]　B (2)(2023·北京模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________． [解析]　如图所示，△ABC的内切圆P与三边的切点分别为E，F，G. ∵P在x＝3上， ∴|AC|>|BC|， ∴|CA|－|CB|＝|GA|－|FB|＝|EA|－|EB|＝(5＋3)－(5－3)＝6， ∴C点轨迹是以A，B为焦点的双曲线(右支)， ∴2a＝6，a＝3，c＝5，b＝4， ∴方程为－＝1(x>3)． [答案]　－＝1(x>3) 方法总结 破解此类题的关键点 (1)定条件，确定动点所满足的条件类型，对其适当化简整理． (2)定型，根据动点所满足的条件，与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义作比较，判断动点轨迹类型． (3)定量，设出轨迹方程，并根据已知求出方程中的待定系数，从而求出动点轨迹方程．　　 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________． 解析：由题意可知，|PM|＝r＋1，|PN|＝3－r， ∴|PM|＋|PN|＝4且MN＝2， ∴P点轨迹是以M，N为焦点的椭圆， ∴2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3， ∴圆心P的轨迹方程为＋＝1(x≠－2)． 答案：＋＝1(x≠－2) 题型二　直接法求曲线方程　 [典例]　已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状． [解]　(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ， 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． 即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． (2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； 当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； 当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 方法总结 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果