第八章 微专题7　隐圆问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

微专题7　隐圆问题 授课提示：对应学生用书第236页 直线与圆是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． [典例]　(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m,0)(m>0)．若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是__________． [解析]　∵P在以AB为直径的圆上(P异于A，B)， ∴以AB为直径的圆和圆C有公共点， ∴m－1≤5≤m＋1，∴4≤m≤6. [答案]　4≤m≤6 (2)已知点A(2,3)，点B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上．若满足等式·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是__________． [解析]　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(x－6，y＋3)，根据·＋2λ＝0， 有(x－4)2＋y2＝13－2λ. 由题意知，圆(x－4)2＋y2＝13－2λ与直线3x－4y＋3＝0相交， 圆心到直线的距离 d＝＝3<， 所以λ<2. [答案]　λ<2 [点评]　确定隐圆的技巧 (1)利用圆的定义确定隐圆． (2)利用动点P对两定点张角为90°确定隐圆． (3)A，B是两定点，动点P满足·＝λ(常数)确定隐圆． 1．若实数a，b，c成等差数列且点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN的长度的最大值是__________． 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即0＝a－2b＋c，方程ax＋by＋c＝0恒过点Q (1，－2)，又因为点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，所以∠PMQ＝90°，M在以PQ为直径的圆上，此圆的圆心A的坐标为，即A(0，－1)，半径r＝|PQ|＝.又因为N(3,3)， 所以|AN|＝5，所以|MN|的最大值为5＋. 答案：5＋ 2．已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(常数)，且点C总不在以点B为圆心，半径为的圆内，则负数λ的取值范围是__________． 解析：设A(－1,0)，B(1,0)，C(x，y)，由已知可得(x＋1)·(x－1)＋y2＝λ，所以x2＋y2＝1＋λ， 所以 解得－1≤λ≤－. 答案： 　　　　　　　　　　　　破解解析几何中重、难点策略 授课提示：对应学生用书第237页 (一)图形对称性问题 近几年高考和模考中的圆锥曲线综合题中，出现了不少关于轴对称、中心对称、平行、垂直、中垂线、弦的中点、特殊几何图形或特殊几何图形内接于圆锥曲线等问题，用解析几何呈现出来的形式往往是角相等或互补、斜率相等或互为相反数、过定点或为定值等，这种题型能有效考查考生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养． [例1]　(2022·安庆模考)经过点的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，且直线AB的斜率为－. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，点N(4,0)．若P，Q，N三点不共线，且∠ONP＝∠ONQ.证明：动直线l经过定点． [解]　(1)因为A(a,0)，B(0，b)，所以＝－， 即a＝2b. 因为点在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1，解得b2＝1，a2＝4. 故椭圆C的标准方程是＋y2＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与C的方程联立得消去y得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(4k2－m2＋1)>0. 设P(x1，kx1＋m)，Q(x2，kx2＋m)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. kPN＋kQN＝＋ ＝. 由∠ONP＝∠ONQ知，kPN＋kQN＝0， 所以2kx1x2－(4k－m)(x1＋x2)－8m＝2k·－(4k－m)－8m＝＋－8m＝0，得m＝－k，满足Δ>0. 故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)． [方法总结]　本题中，由kPN＋kQN＝0构建方程找到m，k的关系是解题的关键．设直线l的方程和点P，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立消元，利用根与系数的关系建立方程与不等式是解题的难点． [例2]　已知动圆过定点M(0,4)，且截x轴所得的弦AB的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过轨迹C上一个定点P(m，n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，直线PS，PT的斜率存在且倾斜角互为补角．证明：直线ST的斜率为定值． [解]　(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，则(x－0)2＋(y－4)2＝42＋y2， 整理得x2＝8y. 故所求动圆圆心的轨