第八章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 授课提示：对应学生用书第209页 1．直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系． ①d<r⇔直线与圆相交； ②d＝r⇔直线与圆相切； ③d>r⇔直线与圆相离． (2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac. ①Δ>0⇔直线与圆相交； ②Δ＝0⇔直线与圆相切； ③Δ<0⇔直线与圆相离． 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 　　　方法 位置关系 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3.两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 0 1 2 3 4 圆的方程两种设法技巧 (1)经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0. (2)经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 1．直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为　(　　) A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交过圆心 答案：A 2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是　(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 答案：B 3．直线3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案： 4．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝____________. 答案：0或 5．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有________条． 答案：1 授课提示：对应学生用书第210页 题型一　直线与圆的位置关系　 类型 1　直线与圆位置关系的判断 [例1]　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 [解析]　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 所以a2＋b2>1， 而圆心O到直线ax＋by＝1的距离 d＝＝<1， 所以直线与圆相交． [答案]　B (2)(2023·荆州模拟)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 [解析]　∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2. [答案]　B (3)(2022·新高考全国Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)．若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为________． [解析]　设直线AB关于y＝a对称的直线为l， ∵kAB＝，∴kl＝－. 显然点B(0，a)在直线l上， ∴直线l的方程为y＝－x＋a， 即(a－3)x＋2y－2a＝0. ∵l与圆有公共点， ∴圆心(－3，－2)到直线l的距离d≤r， 即≤1， 即6a2－11a＋3≤0， 解得≤a≤， ∴实数a的取值范围为. [答案]　 类型 2　直线与圆相切问题 [例2]　(1)(2023·洛阳模拟)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是(　　) A．y＝x＋2－ B．y＝x＋1－ C．y＝x－2＋ D．y＝x＋1－ [解析]　由已知得A(－1,0)，B(0,1)，则易得kAB＝1，M，所以切线斜率为1，故切线方程为y＋－1＝x－＋1，即y＝x＋2－. [答案]　A (2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． [解析]　∵两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心分别为C1(0,0)，C2(3,4)，r1＝1，r2＝4， ∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，则两圆外切，如图所