第八章 第三节　圆的方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　圆的方程 授课提示：对应学生用书第206页 1．圆的定义、方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件：D2＋E2－4F>0 圆心： 半径：r＝ 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2. 1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0. 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案：D 2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案：C 3．在△AOB中，A(4,0)，B(0,3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为________________． 答案：x2＋y2－4x－3y＝0 4．x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________________． 答案： 5．半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________． 答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9 授课提示：对应学生用书第207页 题型一　求圆的方程　 [典例]　(1)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________. [解析]　易得双曲线的渐近线方程为y＝±(m＞0)， 圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，其半径r＝1. ∵渐近线与圆相切， ∴圆心(0,2)到渐近线的距离等于r， ∴＝1， ∴m2＝.又m＞0，∴m＝. [答案]　 (2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________． [解析]　选取(0,0)，(4,0)，(4,2)时，不妨设这三点分别为O，A，B，则线段OA的垂直平分线的方程为x＝2，线段AB的垂直平分线的方程为y＝1，所以经过这三点的圆的圆心坐标为(2,1)，记为C，圆的半径r＝|CO|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 选取(0,0)，(4,0)，(－1,1)时，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则解得所以所求圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0. 选取(0,0)，(－1,1)，(4,2)时，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0. 选取(4,0)，(－1,1)，(4,2)时，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0. [答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝ 5 方法总结 求圆的方程的方法 方法 解读 适合题型 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征 待定系 数法 (1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 题设条件中有明显的代数特征　 　　 1．(2023·成都模拟)以点(1，－1)为圆心，且与直线x－y＋2＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x＋1