第八章 第七节　抛物线-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第七节　抛物线 授课提示：对应学生用书第223页 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内． (2)与一个定点F和一条定直线l距离相等． (3)l不经过点F. 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0(x轴) x＝0(y轴) 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径(其中 P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 焦点弦性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)＋＝. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (6)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.通径是过焦点最短的弦． 1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A. B. C. D．0 答案：B 2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是(　　) A．y＝4x2 B．y＝8x2 C．y2＝4x D．y2＝8x 答案：D 3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 答案：C 4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 答案：[－1,1] 5．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 答案：y2＝－8x或x2＝－y 授课提示：对应学生用书第224页 题型一　抛物线的定义及应用　 1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：AB的中点到抛物线准线的距离为＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4. 答案：D 2．已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点．过抛物线C2：x2＝8y上任意一点B作直线y＝－2的垂线，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　) A．8 B．2 C．－1 D．1 解析：易知抛物线C1的焦点为(1,0)，所以其方程为y2＝4x.由得A(1,2)．因为抛物线C2的焦点为F(0,2)，准线方程为y＝－2，如图，连接BF，则由抛物线的定义知|BM|＝|BF|. 连接AF，可得|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|，当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，等号成立．故所求最大值为|AF|＝1. 答案：D 3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：由题意可知，F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，由抛物线定义可知|AF|＝＋1.又|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)，不妨取A(1,2)，则|AB|＝＝＝2. 答案：B 方法总结 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化． (3)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　　 题型二　抛物线的方程及性质　 类型 1　标准方程 [例1]　顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x [解析]　当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2p