第八章 第九节　直线与圆锥曲线的综合问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第九节　直线与圆锥曲线的综合问题 授课提示：对应学生用书第229页 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 一个交点 a≠0 Δ>0 两个不相等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ<0 无实数解 无交点 2.弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝·|y1－y2|＝. 直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系 (1)直线与椭圆相交⇔有两个公共点； 相切⇔有一个公共点． (2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行．直线与双曲线相切时，只有一个公共点．　 (3)直线与抛物线相交，当直线平行对称轴时，只有一个公共点；当直线与对称轴不平行，有两个公共点．直线与抛物线相切时，只有一个公共点． 1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 答案：C 2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 答案：C 3．已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________． 答案：64 4．F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，过F作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________. 答案：6 5．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________． 答案：12或4 第一课时　最值、范围、证明问题 授课提示：对应学生用书第230页 题型一　弦长问题　 [典例]　已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． [解]　(1)由题意得解得a＝，b＝1， 所以椭圆M的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|AB|＝ ＝＝ ＝. 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. 方法总结 处理弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元，注意斜率不存在的情况． 如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法：点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差，建立关系．　　 椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－. 答案：A 题型二　证明问题　 [典例]　如图所示，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． [解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋. ∵|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. ∵点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上， ∴m＝±2. 由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)． 由A(2,2)，F(1,0)可得， 直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝，从而B. 又G(－1,0)， 故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0， 从而r＝＝. 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0， ∴点F到直线GB的距离d＝＝＝r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 方法总结 圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类