第七章 专题提能　立体几何中的高考创新问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

　　　　　　　　　　　　立体几何中的高考创新问题 授课提示：对应学生用书第194页 (一)空间几何体中数学文化问题 [例1]　日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　) A．20°　　　　　　　　 B．40° C．50° D．90° [解析]　如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°. [答案]　B (二)空间几何体中的动态问题 1．“动态”中研究“特定静态”问题 [例2]　如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是体对角线AC1上的动点(点P与A，C1不重合)，则下面结论中错误的是(　　) A．存在点P，使得平面A1DP∥平面B1CD1 B．存在点P，使得AC1⊥平面A1DP C．S1，S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影图形的面积，对任意点P，S1≠S2 D．对任意点P，△A1DP的面积都不等于 [答案]　C [方法总结]　本题通过P在体对角线AC1上的“动”考查了面面平行、线面垂直、投影图形的面积等问题，实现了一题多考． 2．“动态”中研究“轨迹”问题 [例3]　(2022·蚌埠模拟)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________． [解析]　如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF. 因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF. 由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝＝. [答案]　 [方法总结]　本题通过对点的轨迹的探索，考查了线面平行，实现了解析几何问题与立体几何的交汇．解决此类问题的方法一般是将空间问题平面化，同时要结合常见曲线的定义，探索轨迹类型． [对点训练] (2022·北京模拟)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE＝A1F，则四边形D1FBE(如图中阴影部分所示)在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(　　) A．有最小值　　　　　　 B．有最大值 C．为定值3 D．为定值2 答案：D (三)空间几何体中的最值(范围)问题 1．目标函数法求最值 [例4]　在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是(　　) A. B. C. D. [解析]　如图，取AB的中点E，连接CE，DE， 设AB＝2x(0＜x＜1)，则CE＝DE＝ ， 所以当平面ABC⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大， 此时，四面体ABCD的体积V＝××2x××＝x－x3. 所以V′＝－x2.令V′＝0，得x＝. 当x∈时，V单调递增，当x∈时，V单调递减， 则当x＝时，V有最大值，Vmax＝×－×3＝. [答案]　A [方法总结]　该题中四面体ABCD的体积等于锥体B­CED 和锥体A­CED的体积之和，而AB与平面CED垂直，设∠CED＝θ，则V＝VA­CED＋VB­CED＝S△CED×AB＝×CE×ED×ABsin θ，显然当θ＝90°时，V取得最大值，而∠CED就是二面角C­AB­D的平面角，故当CE与DE垂直，即平面ABC⊥平面ABD的时候，四面体的体积取得最大值． [例5]　已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为(　　) A.π B.π C.π D.π [答案]　A [方法总结]　根据条件设出变量，求出几何体的体积或面积表达式，然后转化为函数最值问题求解即可． [对点训练] 1．如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 解析：取AC中点O，连接D′O(图略)． 设∠ABC＝α，则α∈(0，π)， 所以D′O＝ADcos ＝2cos ， S△ABC＝×2×2sin α＝2sin α. 因为D′O⊥平面ABC， 所以V