第七章 第四节　空间中的垂直关系-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　空间中的垂直关系 授课提示：对应学生用书第183页 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念： ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义： 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 1．判定定理的理解 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 2．性质定理 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 α⊥β， P∈β， PQ⊥α ⇒PQ⊂β 性质 定理 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面 α∩β＝l， α⊥γ，β⊥γ ⇒l⊥γ 1．下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ 答案：A 2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交 答案：C 3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥β的一个充分条件是(　　) A．α⊥β且m⊂α B．m∥n且n⊥β C．α⊥β且m∥α D．m⊥n且n∥β 答案：B 4．如图所示，在三棱锥V­ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中，直角三角形的个数为________． 答案：4 5．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． 答案：外 授课提示：对应学生用书第184页 题型一　线面垂直的判定与性质　 [典例]　(1)(2023·商丘模拟)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是A在PB，PC上的射影，给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC； ④AE⊥平面PBC. 其中正确命题的序号是________． [解析]　由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，可得PA⊥BC.又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不与平面PBC垂直，故④错误．综上可知，正确命题的序号为①②③. [答案]　①②③ (2)如图，在一个多面体中底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥CD，四边形CDEF为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AB＝AD＝CD＝1，且M为EA的中点．若ED ＝1，求证：AE⊥平面MDC. [证明]　∵ED＝AD＝1，M为AE的中点，∴DM⊥AE. ∵四边形CDEF为矩形，∴CD⊥ED. ∵CD⊥AD，ED∩AD＝D，ED，AD⊂平面EAD， ∴CD⊥平面EAD. 又AE⊂平面EAD， ∴AE⊥CD. 又CD∩DM＝D，CD，DM⊂平面MDC， ∴AE⊥平面MDC. 方法总结 证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两