第六章 第五节　推理与证明-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第五节　推理与证明 授课提示：对应学生用书第161页 1．合情推理 类型 定义 特征 归纳 推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 合情 推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理 2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 类比推理的几个角度 方法 解读 适合题型 类比 定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解 已知熟悉定义类比新定义 类比 性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键 平面几何与立体几何； 等差数列与等比数列 类比 方法 有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法 类比 结构 有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间 几何问题的结论 3．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法 从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 特点 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件 从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件 4.间接证明——反证法 要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法． 5．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法． 1.已知在数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的解析式是(　　) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 答案：C 2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理(　　) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 答案：A 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为(　　) A．1∶8 B．8∶1 C．4∶1 D．1∶4 答案：A 4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________. 答案： 5．观察下列不等式： 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …… 照此规律，第五个不等式为________________． 答案：1＋＋＋＋＋＜ 授课提示：对应学生用书第162页 题型一　合情推理与演绎推理　 类型 1　归纳推理 [例1]　(1)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的．按照如下规律依次在一个