第六章 第二节　一元二次不等式及其解法-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　一元二次不等式及其解法 授课提示：对应学生用书第149页 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ? ? 1．一元二次不等式的解法技巧 求不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，先求出对应方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集． 2．分式不等式的转化 ＞0?f(x)·g(x)＞0； ≥0? ≤0? 1．不等式x(9－x)<0的解集为(　　) A．(0,9) B．(9，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(9，＋∞) 答案：D 2．设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________． 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 4．函数y＝ 的定义域是________． 答案：[－3,1] 授课提示：对应学生用书第150页 题型一　一元二次不等式的解法　 类型 1　解简单的一元二次不等式 [例1]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(　　) A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3} [解析]　∵A＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|(x＋1)(x－4)＜0}＝{x|－1＜x＜4}，B＝{－4,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}． [答案]　D (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) [解析]　－x2－3x＋4>0?(x＋4)(x－1)<0. 如图所示，作出函数y＝(x＋4)(x－1)的图象， ∴当－4<x<1时，y<0. [答案]　(－4,1) 类型 2　解含参数的不等式 [例2]　解不等式x2－4ax－5a2>0(a≠0)． [解]　由x2－4ax－5a2>0，知(x－5a)(x＋a)>0. 由于a≠0，故分a>0与a<0讨论． 当a<0时，x<5a或x>－a； 当a>0时，x<－a或x>5a. 综上，当a<0时，解集为{x|x<5a或x>－a}； 当a>0时，解集为{x|x>5a或x<－a}． 类型 3　已知不等式的解集求参数 [例3]　(1)(2023·濮阳模拟)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是(　　) A. B.∪ C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞) [解析]　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a＜0，∴α＋β＝－，α·β＝.不等式cx2＋bx＋a＜0化为x2＋x＋1＞0，∴αβx2－(α＋β)x＋1＞0，化为(αx－1)(βx－1)＞0.又0＜α＜β，∴＞＞0，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. [答案]　B (2)(2023·梅州模拟)关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(5,6] B．(5,6) C．(2,3] D．(2,3) [解析]　关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0可化为(x－m)(x－2)＜0.∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2＜x＜m}，且5＜m≤6，即实数m的取值范围是(5,6]． [答案]　A 方法总结 1．一元二次不等式的解集可依据一元二次方程的根及一元二次函数图象求得． 当ax2＋bx＋c＝0有两根x1，x2时， ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是“两根之外”型， ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是“两根之内”型． 2．对含参数的一元二次不等式，也要按此原理讨论： 方法 解读 适合题型 “二次关系数形结合” 化为“ax2＋bx＋c>0(a>0)”的形式，求方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合图象，写出解集(大于取两边，小于取中间) 不含参数的一元二次不等式 讨论参数法 ①二次项中的系数含参数，讨论等于0，小于0，大于0； ②方程根的个数不定时，讨论Δ与0的关系； ③根的大小不定时，讨论两根大小 含参数的不等式 1．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为____