第五章 微专题5　数列中有关奇偶项的问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

微专题5　数列中有关奇偶项的问题 授课提示：对应学生用书第140页 有关数列中奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．此类问题综合性强，灵活多变，具有很好的区分度． [典例]　(2023·临沂模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,4Sn＝an＋1an＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbnan＋1＝(－1)nn，求{bn}的前2k项和T2k(k∈N*)． [解]　(1)因为a1＝1,4Sn＝an＋1an＋1， 当n＝1时，4S1＝a2a1＋1，解得a2＝3， 当n≥2时，4Sn－1＝an－1an＋1， 所以4Sn－4Sn－1＝an＋1an＋1－(an－1an＋1)，即4an＝an＋1an－an－1an，显然an≠0，所以4＝an＋1－an－1， 所以{a2n}是以3为首项，4为公差的等差数列，{a2n－1}是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以a2n＝3＋4(n－1)＝2×2n－1， a2n－1＝1＋4(n－1)＝2×(2n－1)－1，所以an＝2n－1. (2)因为anbnan＋1＝(－1)nn，所以bn＝＝＝(－1)n·， 所以T2k＝b1＋b2＋b3＋…＋b2k ＝－×＋×－×＋…＋ ＝× ＝＝－. [点评]　当题中所给条件中出现符号数列{(－1)n}或出现关于n的三角函数，或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时，常考虑按照n为奇数和偶数分别求解，最后整合求解结果． 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝__________. 解析：当n＝2k(k∈N*)时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)] ＝2＋2＋…＋2＝2k＝n； 当n＝2k－1(k∈N*)时， Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n， ∴Sn＝＝(－1)nn. 答案：(－1)nn 　　　　　　　　　　　　透视数列高考热点，探求应对策略 授课提示：对应学生用书第141页 数列是一种特殊的函数，其考查的重点是数列的通项、数列的前n项和、参数的取值范围的探求、数列不等式的证明等，研究的数列主要是等比数列与等差数列．数列的最值、周期性、单调性的探究，以及递推数列的相关综合题目，也是历年高考考查的热点． (一)数列单调性及应用 1．与等差数列的单调性有关的问题 [例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝1，an＞0，a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)．若不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an对任意的n∈N*恒成立，则整数m的最大值为(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 [解析]　当n≥2时， 两式相减得a－a＝4an＋4，即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，又an＞0，所以an＋1＝an＋2(n≥2)． 对a＝4Sn＋4n＋1，令n＝1，可得a＝4a1＋4＋1＝9，所以a2＝3，则a2－a1＝2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，故an＝2n－1. 因为4n2－8n＋3＝(2n－1)(2n－3)，n∈N*,2n－1＞0，所以不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an等价于5－m＞.记bn＝，则＝＝，当n≥3时，＜1，又b1＝－，b2＝，b3＝，所以(bn)max＝b3＝.故5－m＞，得m＜，所以整数m的最大值为4. [答案]　B [方法总结]　将an的表达式代入不等式4n2－8n＋3＜(5－m)·2n·an，约去公因式，从而简化了运算．在求解bn＝的最大值时，通过作商与“1”比较大小判断数列的单调性，从而求得最大值． 2．与等比数列的单调性有关的问题 [例2]　已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，3) [答案]　C [方法总结]　判断数列的单调性的方法 函数法：构造函数，通过判断所构造函数的单调性，即可得出相应数列的单调性． 定义法：利用单调函数的定义判断数列的单调性． 作差法：对于数列中任意相邻的两项an＋1，an，通过作差an＋1－an，判断其与0的大小，即可判断数列的单调性． 作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中任意相邻的两项an＋1，an，通过作商，判断其与1的大小，即可判断数列的单调性． [对点训练] 在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1.若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，即实数