第五章 第一节　数列的概念与简单表示法-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第一节　数列的概念与简单表示法 授课提示：对应学生用书第124页 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4．数列的分类 1．与函数的关系 数列是定义域为正整数集N*(或其子集)的函数，数列的图象是一群孤立的点． 2．周期性 若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　) A．21 B．33 C．152 D．153 答案：C 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝________. 答案： 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n＋1－1，则数列{an}的通项公式为__________． 解析：因为Sn＝2n＋1－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝3不满足上式，故an＝ 答案：an＝ 授课提示：对应学生用书第125页 题型一　数列的项与通项公式　 1．数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－ 1 C．an＝ D．an＝ 解析：设此数列为{an}，则由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…仔细观察数列1,3,6,10,15，…可以发现：1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4.…所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，所以数列1,3,6,10,15，…的通项公式为an＝. 答案：C 2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…； (4)，1，，，…； (5)0,1,0,1，…. 解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n·(6n－5)． (2)将数列变形为×(1－0.1)，×(1－0.01)，×(1－0.001)，…， ∴an＝. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项开始分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…， ∴an＝(－1)n·. (4)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝. (5)an＝ 方法总结 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．　　 题型二　已知递推关系求通项公式　 [典例]　根据下列已知条件，求数列{an}的通项公式： 累加法：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln； 累乘法：(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)； 构造法：(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3； 辅助数列法：(4)a1＝，an＋1＝an＋n＋1； 取倒数：(5)a1＝1，an＝； 取对数：(6)a1＝3，an＋1＝a. [解]　(1)因为an＋1＝an＋ln， 所以an＋1－an＝ln(n≥1)， 所以an－an－1＝ln(n≥2)， 所以an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln(n≥2)，