第五章 第三节　等比数列及其前n项和-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　等比数列及其前n项和 授课提示：对应学生用书第132页 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(a，G，b不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)． (4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 1．(1)在等比数列求和时，要注意q＝1和q≠1的讨论．　　 (2)当{an}是等比数列且q≠1时，Sn＝－·qn＝A－A·qn. 2．在等比数列中，当项数是偶数时，S偶＝S奇·q； 当项数是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q. 1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：C 2．设{an}是公比为正数的等比数列．若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 答案：C 3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　) A. B. C．－ D. 答案：A 4．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案：12,48 5．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则an＝________. 答案：－2n－1 授课提示：对应学生用书第133页 题型一　等比数列的基本量的运算　 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：法一：设{an}的公比为q， 则 得＝＝q(1－q)＝，4q2－4q＋1＝0，即(2q－1)2＝0，∴q＝，代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×＝3. 法二：设数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 由a2－a5＝42，得q≠1. 由题意得 得＝4，即4q2－4q＋1＝0， ∴(2q－1)2＝0，得q＝，代入①得a1＝96， ∴a6＝a1q5＝96×5＝3. 答案：D 2．(2023·昆明模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，则数列{an}的公比等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 则由a1＝2，a1＋a2＋a3＝14，得2＋2q＋2q2＝14， 解得q＝2或q＝－3(舍去)． 答案：C 3．(一题多法)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝(－2)n B．an＝－2n C．an＝(－3)n D．an＝－3n 解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得解得故an＝a1qn－1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. 法二：由题设得a3＝S3－S2＝－6－2＝－8.设等比数列{an}的公比为q，由S2＝a1＋a2＝2可得＋＝2，解得q＝－2，所以a1＝＝－2，故an＝a1qn－1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. 答案：A 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝__________. 解析：设公比为q. 当q＝1时，S3＝3a1成立，所以S4＝4a1＝8. 当q≠1时，S3＝a1＋a2＋a3＝2＋2q＋2q2＝6，解得q＝－2，所以S4＝6＋2q3＝－10. 所以S4＝8或－10. 答案：8或－10 方法总结 解决等比数列有关基本能力问题的常用思想方法 (1)方程思想： 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)分类讨论的思想： 等比数列的前n项和涉及对公比q的分类讨论： 当q＝1时，其前n项和Sn＝na1； 当q≠1时，其前n项和Sn＝＝.　　 题型二　等比