第五章 第二节　等差数列及其前n项和-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　等差数列及其前n项和 授课提示：对应学生用书第128页 1．等差数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 1．两个重要技巧 (1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d. (2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝. (3)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm. 1．已知数列{an}中，an＝3n＋4.若an＝13，则n等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 2．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 3．已知等差数列5，4，3，…，则前n项和Sn＝________. 答案：(15n－n2) 4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 答案：180 5．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面． 答案：20 授课提示：对应学生用书第129页 题型一　等差数列的基本运算　 1．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　) A. B. C．10 D．12 答案：B 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S18，则S22等于(　　) A．0　 　　　 B．12 C．－1　 　　　 D．－12 解析：设等差数列的公差为d，由S4＝S18得 4a1＋d＝18a1＋d，a1＝－d， 所以S22＝22a1＋d＝22×＋22×d＝0. 答案：A 3．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项．写出一个满足条件的数列的通项公式an＝__________. 解析：设{an}的公差为d， 由题意得，a2<a1d<a3， 所以a1＋d<a1d<a1＋2d. 又a1，d为正整数，且易得d≠1， 所以<a1<， 即1＋<a1<2＋. 当d＝2时，易得a1＝3，an＝2n＋1. 当d>2时，易得a1＝2，an＝2＋(n－1)d. 所以满足上述两种通项公式的结果均可． 答案：2n＋1(答案不唯一) 　方法总结 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．　 题型二　等差数列的判定与证明　 [典例]　(1)(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. ①证明：数列{bn}是等差数列； ②求{an}的通项公式． [解]　①证明：由bn＝S1·S2·…·Sn可得， Sn＝ 由＋＝2知， 当n＝1时，＋＝2，即＋＝2，所以b1＝S1＝， 当n≥2时，＋＝2，即2bn＝2bn－1＋1，即bn－bn－1＝， 故数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． ②由①知，bn＝＋(n－1)×＝， 故当n≥2时，Sn＝＝，S1也符合该式， 即Sn＝(n∈N*)， 从而a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，a1不符合该式， 所以an＝ (2)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若S3，S