第四章 微专题4　极化恒等式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

微专题4　极化恒等式 授课提示：对应学生用书第118页 极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 如图所示． (1)在平行四边形ABDC中，＝a，＝b，则a·b＝(||2－||2)． (2)在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝||2－||2. [典例]　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. [解析]　设⊥且＝a，＝b， ＝c，D为线段AB的中点，显然＝. 因为(－)(－)＝0， 所以·＝0， 则·＝||2－||2＝0， 即||＝||， 则||2＝2＝2＝. 上式表明，是有固定起点，固定模长的动向量，点C的轨迹是以为半径的圆，故|c|最大＝. [答案]　C [点评]　利用极化恒等式求解的思想体现了数与形的转化，注意等价转化思想应用． 如图，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值__________． 解析：如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则·＝2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等长， 所以·的最大值为2. 答案：2 　　　　　　　　　　　　平面向量、三角函数与解三角形 授课提示：对应学生用书第119页 (一)三角形中的范围(最值)问题 任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 1．与边或角有关的范围(最值)问题 [例1]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，accos B＝S. (1)若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状； (2)求a＋c的取值范围． [解]　(1)由已知得accos B＝acsin B， 得tan B＝. 因为0＜B＜π，所以B＝. 因为a，b，c成等差数列，b＝4， 所以a＋c＝2b＝8. 由余弦定理，得16＝a2＋c2－2accos ， 所以16＝(a＋c)2－3ac，得ac＝16， 所以a＝c＝b＝4， 所以△ABC是等边三角形． (2)由(1)得(a＋c)2－3ac＝16≥(a＋c)2－32(当且仅当a＝c时取等号)， 解得0＜a＋c≤8. 又a＋c＞b＝4，所以4＜a＋c≤8， 所以a＋c的取值范围是(4,8]． [方法总结]　三角形中边或角范围问题的解决方法 求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有： 要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果范围过大． [对点训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．　② 由①②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 2．与面积有关的范围或最值问题 [例2]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A. (1)求的值； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)∵2csin B＝3atan A， ∴2csin Bcos A＝3asin A， 由正弦定理得2cbcos A＝3a2， 由余弦定理得b2＋c2－a2＝3a2， 化简得b2＋c2＝4a2，∴＝4. (2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16， ∴由余弦定理得cos A＝＝. 根据基本不等式知b2＋c2≥2bc，即8≥bc， 当且仅当b＝c时“＝”成立， ∴cos A≥＝. 由cos A＝，得bc＝，且A∈ ， ∴△ABC的面积S