第四章 第三节　数系的扩充与复数的引入-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第三节　数系的扩充与复数的引入 授课提示：对应学生用书第115页 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位 a＋bi为实数⇔b＝0， a＋bi为虚数⇔b≠0， a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数a(a为实数)的共轭复数是a 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴(除原点)叫做虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z| |z|＝|a＋bi|＝ 2.复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量. 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： 运算名称 符号表示 语言叙述 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i 把实部、虚部分别相加减 乘法 z1·z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 按照多项式乘法进行运算，并把i2换成－1 除法 ＝＝＝＋i(c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 (2)复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 几个重要运算结论： (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 1．设z＝－3＋2i，则在复平面内，对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 2．复数2的共轭复数是(　　) A．2－i B．2＋i C．3－4i D．3＋4i 答案：C 3．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：A 4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 5．复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第116页 题型一　复数的概念　 1．(2022·浙江卷)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 解析：(b＋i)i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3. 答案：B 2．(2023·石家庄模拟)已知i是虚数单位，若z＝为纯虚数，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：z＝＝＝＝＋i.因为z为纯虚数，所以 解得a＝－1. 答案：B 3．若复数z满足(1－i)z＝2(3＋i)，则z的虚部等于(　　) A．4i　　　　B．2i C．2　　　　D．4 解析：由题意，得z＝＝＝2＋4i，所以z的虚部为4. 答案：D 题型二　复数的运算　 1．(2022·新高考全国Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i. 答案：D 2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由题意知1－z＝＝－i，所以z＝1＋i，则＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2. 答案：D 3．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i　　　　　　 B．－1－i C．－＋i D．－－i 解析：因为z＝－1＋i， 所以＝ ＝＝－＋i. 答案：C 4．(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 解析：由i·z＝3－4i可知，z＝＝＝－4－3i，故|z|＝＝5. 答案：B 方法总结 1．复数的加减法运算：把实部、虚部分别相加减．乘法运算：类似多项式展开，要把i2换为－1.除法运算：类似多项式的分母有理化，而