第四章 第二节　平面向量的数量积及应用举例-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　平面向量的数量积及应用举例 授课提示：对应学生用书第111页 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与 垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3.数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)cos θ＝. (3)a·b≤|a||b|. 4．数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ 夹角 cos θ＝ 向量垂直的 充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 对于向量a，b： (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a，b同向时，a·b＝|a||b|， a，b反向时，a·b＝－|a||b|. (4)O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (5)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则·＝. 1．设a＝(，1)，b＝，则向量a，b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 2．已知＝(2,3)，＝(3,3)，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案：C 3．已知a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝__________. 答案： 4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 答案： 5．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ为120°，则向量b在向量a方向上的投影为__________． 答案：－2 授课提示：对应学生用书第112页 题型一　平面向量数量积的运算　 1．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] 解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4)，设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－.又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以·∈，即·∈[－4,6]． 答案：D 2．(2023·石家庄模拟)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝8，CD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　) A．32 B．48 C．80 D．64 解析：∵·(＋)＝·＋·，由数量积的几何意义得，·的值为||与在方向投影的乘积，又在方向的投影为||＝4，∴·＝32.同理，·＝8×6＝48，∴·(＋)＝32＋48＝80. 答案：C 3．(一题多法)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________. 解析：法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC， ∴∠ABE＝30°.又EA＝EB， ∴∠EAB＝30°. 在△EAB中，AB＝2， ∴EA＝EB＝2. 以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)， ∴＝(2，－)，＝(1，)， ∴·＝(2，－)·(1，)＝－1. 法二：同法一，求出EB＝EA＝2， 以，为一组基底， 则＝－，＝＋＝－， ∴·＝(－)· ＝·－2＋·－2 ＝×5×2×－12－×25＝－1. 答案：－1 方法总结 向量数量积的常用计算方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接运用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，运用相应运算律将其转