第三章 第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 授课提示：对应学生用书第82页 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1. (2)商数关系：＝tan x. 2．三角函数的诱导公式 “一个口诀” 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限． 1．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 答案：D 2．sin 210°cos 120°的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：A 3．已知tan α＝2，则的值为________． 答案：3 4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α) 的结果为________． 答案：－sin2α 5．已知<α<π，3sin 2α＝2cos α，则sin＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第82页 题型一　同角三角函数关系的应用　 类型 1　公式的直接应用 [例1]　(2023·南京模拟)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　) A. B．－ C. D．－ [解析]　cos α＝ ＝， ∴tan α＝＝－. [答案]　D 类型 2　关于sin α、cos α的齐次式问题 [例2]　已知tan α＝－，求：(1)； (2)；(3)sin2α＋sin αcos α＋2. [解]　(1)＝＝＝. ∵tan α＝－， ∴＝＝＝－. (2)＝＝＝. (3)原式＝ ＝＝＝. 类型 3　“sin α±cos α”“sin αcos α”及“1”之间的转化 [例3]　(1)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　) A. B．－ C. D．－ [解析]　因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝. 又因为θ∈，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－. [答案]　B (2)若1＋cos α＝3sin α，则tan α＝________. [解析]　∵3sin α－cos α＝1， ∴9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝1， ∴4sin2α－3sin αcos α＝0， ∴sin α(4sin α－3cos α)＝0， ∴sin α＝0，此时cos α＝－1， ∴tan α＝0， 或者4sin α－3cos α＝0，∴tan α＝. [答案]　0或 (母题变式)(变设问)在例3(1)中，如何求tan θ. 解：由得 sin θ＝，cos θ＝， ∴tan θ＝＝＝. 方法总结 同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦 互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 解析式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的 变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ 解析式中需要利用“1”转化 和积 转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ的关系进行变形、转化 解析式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 次幂 升降 (1)对于含有根号的，即形如(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值． (2)对于含有高次的三角函数式，一般借助因式分解、约分、构造sin2θ＋cos2θ＝1来降低次数 出现根号或高次幂的结构形式 　　 1．(2023·平顶山模拟) 已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝(　　) A. B．－ C．－3 D．3 解析：由＝5知tan α＝2， ∴cos2α＋sin 2α＝＝＝. 答案：A 2．设α∈R，且log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1，则tan α的值是(　　) A. B．2 C.或2 D．不存在 解析：∵log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1， ∴log4[(2sin α＋cos α)(sin α＋2cos α)]＝1，即(2sin α＋cos α)(sin α＋2cos