第三章 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 授课提示：对应学生用书第76页 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝. (3)角度与弧度的换算： 360°＝2π rad,1°＝ rad,1 rad＝°≈57°18′. (4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l＝α·r. 面积公式：S＝l·r＝α·r2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． 1．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．四种角的终边关系 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A．10π　　　　B．9π C.　　　　D. 答案：D 2．下列与的终边相同的角的解析式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案：C 3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 4．已知角α的终边过点(－4,3)，则cos α＋sin α＝________. 答案：－ 5．函数y＝的定义域为________________． 答案： 授课提示：对应学生用书第77页 题型一　终边相同的角及象限角　 类型 1　终边相同的角 [例1]　(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________． [解析]　因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°， 所以150°与－2 010°终边相同．又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°. [答案]　150° (2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分)． [解]　①. ②. ③. ④. 类型 2　象限角 [例2]　若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 [解析]　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上． [答案]　D 方法总结 1．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k)表示． (2)两边同除以n或乘n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．　　 1．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 2．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π]内的角α的集合为________． 答案： 题型二　扇形弧长、面积公式的应用　 [典例]　(1)(2023·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　) A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1 [解析]　如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D，则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1. 在Rt△AOC中