第三章 第四节　三角函数的图象与性质-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　三角函数的图象与性质 授课提示：对应学生用书第90页 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 为增； 为减 [2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增 为增 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 3.周期函数 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．三角函数的对称与周期的关系 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 2．关于周期的两个结论 函数y＝|sin x|，y＝|cos x|，y＝|tan x|的周期为π，函数y＝sin|x|不是周期函数，y＝tan |x|不是周期函数． 1．函数y＝sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在和上是增函数，在上是减函数 答案：B 2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．f(x)＝cos 2x－3cos x的最大值为________． 答案：4 4．y＝2cos在区间上的值域是________． 答案：[－2，] 5．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是__________． 解析：函数y＝1－2cos x的单调递减区间即函数y＝－cos x的单调递减区间，即函数y＝cos x的单调递增区间，即为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)． 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z) 授课提示：对应学生用书第91页 题型一　有关三角函数的定义域、值域、最值问题　 类型 1　有关三角函数的定义域 [例1]　函数y＝的定义域为__________． [解析]　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 在同一坐标系中作出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 . [答案]　(k∈Z) 类型 2　利用单调性求最值 [例2]　函数f(x)＝3sin在区间上的值域为__________． [解析]　当x∈时，2x－∈， ∴函数f(x)＝3sin在上单调递增，在上单调递减， ∴sin∈， 故3sin∈， ∴函数f(x)在区间上的值域为. [答案]　 类型 3　利用三角函数换元求最值 [例3]　函数f(x)＝sin2 x＋cos x－的最大值是__________． [解析]　令sin2x＝1－cos2x，则 f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1，cos x∈[0,1]，当cos x＝时，f(x)取得最大值1. [答案]　1 方法总结 1．形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0)(x∈R)，其最值都是当sin(ωx＋φ)＝±1或cos(ωx＋φ)＝±1时取得的±A. 2．求解三角函数的值域(最值)常见的三种类型： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 对于(2)(3)类型，主要采用换元法．　　 题型二　三角函数的单调性　 类型 1　求三角函数的单调区间 [例1]　(1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－s