第二章 第八节　函数与方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第八节　函数与方程 授课提示：对应学生用书第44页 1．函数的零点 (1)函数零点的定义： 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0)或(x2,0) 无交点 零点个数 2 1 0 三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号． 1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案：B 2．函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点所在区间为(　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 答案：B 3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 答案：A 4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，4) 5．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，π]内的零点为________． 答案：0或π 授课提示：对应学生用书第45页 题型一　确定函数零点所在区间　 1．(一题多法)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：法一(定理法)： 函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线． 由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0. 根据函数零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内． 法二(图象法)： 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)． 答案：B 2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：令f(x)＝0得x＝ln x．作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图所示． 显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点． 答案：D 3．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是__________． 解析：设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点．因为f(1)＝1－－1＝－1<0，f(2)＝8－0＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1,2)． 答案：(1,2) 方法总结 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定的区间上． (2)图象法：把方程转化为两个函数，看它们的交点所在区间． (3)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．　　 题型二　函数零点的个数　 [典例]　(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]　由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1. 由f(－2)＝f＝－1得f(x)＝－2或f(x)＝. 若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝； 若f(x)＝，则x＝－或x＝. 综上可得，函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4. [答案]　A (2)(一题多法)(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　法一(直接法)：