第二章 微专题2　函数“隐零点”问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

微专题2　函数“隐零点”问题 授课提示：对应学生用书第72页 若函数的零点或导函数的零点存在，但无法直接求解出来，我们称此零点为“隐零点”．虽不能通过计算求解得出隐零点的具体值，但可以与函数零点存在定理结合，分析出隐零点所在区间．可以先设而不求，确定等式，进而整体代换，达到消元化简的目的；还可以利用函数工具或导函数工具，以及不等式放缩的方法，进一步推理． [典例]　设函数f(x)＝ex－ax －2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． [解]　(1)f′(x)＝ex－a，故当a≤0时， 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，令f′(x)＝0， 得x＝ln a， 故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)， 单调递增区间是(ln a，＋∞)． (2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0， 即k<x＋(x>0)恒成立． 令g(x)＝＋x(x>0)． 得g′(x)＝＋1＝(x>0)． 由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数． 又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)． 当x∈(0，α)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(α)＝＋α. 又eα＝α＋2且α∈(1,2)， 则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)， 所以k的最大值为2. [点评]　函数的隐零点问题可采用先猜后解的方法，如出现ln x时常猜x＝1，出现ex时常猜x＝0或x＝ln x0.若求不出可“设而不求”进行分析解决． 设f(x)＝. (1)若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f′(x)＝－(x>0)， 令f′(x)＝0，得x＝1. 由f(x)在(a，a＋1)上有极值， 得 即0<a<1. 所以实数a的取值范围是(0,1)． (2)由方程f(x)＝x2－2x＋k，得f(x)－x2＋2x＝k. 设g(x)＝f(x)－x2＋2x， 则g′(x)＝2(1－x)－. 要求函数g(x)的单调区间，只需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解． 易得g′(1)＝0，且当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0， 所以函数g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，得g(x)max＝g(1)＝2. 进而可得函数g(x)的值域是(－∞，2]， 所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]． 　　　　　　　　　　　　函数与导数综合问题的突破策略 授课提示：对应学生用书第73页 (一)两个经典不等式的活用 [例1]　(1)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　) (2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点． (1)[解析]　因为f(x)的定义域为即{x|x＞－1，且x≠0}，所以排除选项D. 当x＞0时，由经典不等式x＞1＋ln x(x＞0)， 以x＋1代替x，得x＞ln(x＋1)(x＞－1， 且x≠0)， 所以ln(x＋1)－x＜0(x＞－1，且x≠0)，即x＞0或－1＜x＜0时均有f(x)＜0，排除A，C，易知B正确． [答案]　B (2)[证明]　令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R， 则g′(x)＝ex－x－1， 由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)＝0. 所以函数g(x)有唯一零点， 即两曲线有唯一公共点． [例2]　已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； (2)证明：对于任意正整数n，·…·＜e. [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， ①若a≤0，因为f＝－＋aln 2＜0，所以不满足题意； ②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在 (0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值点． 因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1. (2)证明：由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x＞0. 令x＝1＋，得ln＜. 从而ln＋ln＋…＋ln＜＋＋…＋＝1－＜1. 故·…·＜e. [方法总结]　利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推