专题05 函数的定义域、解析式和值域十个重难点归类-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

专题05函数的定义域、解析式和值域十个重难点归类 一、函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： 1.分式函数中分母不等于零. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3.一次函数、二次函数的定义域均为R. 4.的定义域是. 三、函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 四、分段函数 1．分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 【重难点一 识别函数及区间的表示】 例1．已知区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. （1）判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． （3）应用区间时的注意点：区间是数集，区间的左端点小于右端点． 【跟踪练习】 练习1．下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 练习2．俗语“名师出高徒”说明（　  ） A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 练习3．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（    ） A． B． C． D． 练习4．用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【重难点二 求具体函数的定义域（含判断相同函数）】 例3．函数的定义域为 ． 例4．下列各组中的两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 求函数定义域的几种类型： （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零． （3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【跟踪练习】 练习1．求下列函数的定义域： (1) (2) 练习2．（多选）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 练习3．函数 的定义域是 ． 练习4．函数的定义域为（写成集合形式） . 【重难点三 求抽象函数的定义域】 例5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）. A． B． C． D． 例6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域． （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 练习4．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【重难