专题24.3 弧、弦、圆心角、圆周角（九大考点）-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

专题24.3弧、弦、圆心角、圆周角 1.理解圆心角、圆周角的概念,理解弧、弦、圆心角之间的关系； 2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等,并学会证明圆周角定理及其推论1； 3.学会证明圆周角推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径; 4.学会证明圆周角推论3:圆内接四边形的对角互补; 5.了解圆内接多边形和外接圆的概念 一、圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 二、圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 三、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 考点01弧、弦、圆心角、圆周角概念的辨析 例1．图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   变式1-1．下列语句中不正确的有（　　）   ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式1-2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 变式1-3．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 考点02利用弧、弦、圆心角的关系求解 例2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 变式2-1．如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D．      (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径长． 变式2-2．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 变式2-3．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 考点03利用弧、弦、圆心角的关系求证 例3．如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．证明：E是的中点． 变式3-1．如图，的弦、的延长线相交于点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 变式3-2．已知：如图， 是的直径，点C、D在上，于E，于F，且，与相等吗?为什么?    变式3-3．如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    考点04求圆弧的度数 例4．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 变式4-1．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ） A．116 B．120 C．122 D．128 变式4-2．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 变式4-3．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 考点05圆周角定理 例5．如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（    ）    A．20° B． C．30° D．50° 变式5-1．如图，在中，点在上，沿折叠后刚好经过上的点，连接、．若，是，则（   ）    A． B． C． D． 变式5-2．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为(   )    A． B． C． D． 变式5-3．如图，在中，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E，．    (1)求证：． (2)若，求，的度数． 考点06同（等）弧所对的圆周角相等 例6．如图，是半圆的直径，O为圆心，B、C是半圆上的两点，，则 °．    变式6-1．如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 ．    变式6-2．如图，点A、B、C、D