3.3幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

复习巩固 1.偶函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且_,那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且_,那么函数f(x)就叫做奇函数. f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 巧用奇、偶函数的图象求解问题 1.依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称. 2.求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题. 1 3.3 幂函数 第三章 函数的概念与性质 课前准备:①课本 ②导学案 ③日清单(过关条)④红黑双色笔 学习目标 1.了解幂函数的概念. 2.通过具体实例,结合y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x 的图象,理解它们的变化规律. 资料卡片 3 知识点一 幂函数的概念 索引 阅读下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征? (1)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数; (2)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= ,这里c是S的函数; (3)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v= km/s,即v=t-1,这里v是t的函数. 提示:它们的函数解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数. 问题导思 一般地,函数_叫做幂函数,其中_是自变量,_是常数. 新知形成 微提醒 y=xα x α (多选)下列函数中是幂函数的是 √ √ 例1 幂函数的特征:①xα的系数为1;②xα的底数是自变量x,指数α为常数;③项数只有一项. 方法技巧 即时练1.若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=_. 因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1. 5或-1 即时练2.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=_. 9 由于幂函数y=xα的图象经过点(2,4),即2α=4,解得α=2,故f(-3)= (-3)2=9. 索引 知识点二 常见幂函数的图象与性质 索引 请回答以下问题: 1.根据之前所学,我们应该从哪些方面来研究幂函数? 提示:根据函数解析式先求出函数的定义域,然后画出函数图象,再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. 问题导思 提示: 常见幂函数的图象与性质 新知形成 {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) (-∞,0) (0,+∞) (1,1) 幂函数的图象 观察幂函数在第一象限内的图象特征: (1)当α>0时,第一象限内的图象是上升的;当α<0时,第一象限内的图象是下降的; (2)当x>1时,α值大,图象在上方;当0<x<1时,α值大,图象在下方. 微提醒 例2 √ 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1.依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1, +∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第 方法技巧 索引 综 合 应 用 索引 应用一 利用幂函数的性质比较大小 比较下列各组数的大小: 例3 比较幂值大小的两种基本方法 方法技巧 即时练4.比较下列各题中两个幂值的大小: 应用二 利用幂函数的性质解不等式 例4 变式探究 利用幂函数的性质解不等式的步骤 第一步:确定可以利用的幂函数; 第二步:借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系; 第三步:解不等式(组)求参数范围,注意分类讨论思想的应用. 方法技巧 即时练5.已知幂函数f(x)=xm+2过点(2,8),且f(2x+1)>8,则实数x的取值范围是_. 因为幂函数f(x)=xm+2过点(2,8),所以2m+2=8, 求得m=1,幂函数f(x)=x3. 所以f(x)=x3在R上单调递增,因为f(2x+1)>8,即f(2x+1)>f(2), 索引 索引 1.在函数y=x-4,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 函数y=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.故选B. √ 2.下列结论正确的是 A.幂函数图象一定过原点 B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数 C.当α>1时,幂函数y=xα是增函数 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数 函数y