1.1.1空间向量及其运算导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其运算 班级 姓名 小组 【学习目标】 1.通过类比平面向量的概念，掌握空间向量的相关概念； 2.通过阅读课本，掌握空间向量的加减运算和数乘运算； 3.类比平面向量，能够说出两向量共线，三向量共面的充要条件，能够表示直线方向的向量； 4能利用空间向量，化简求参，解决向量共线共面问题. 【导学流程】 知识点1　空间向量的有关概念 1.空间向量的定义 在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.空间向量的表示 几何 表示 用 表示向量，有向线段的长度 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… 3.空间向量的线性运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2　空间向量的有关概念 名称 定义及表示 零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点3　共线向量及共线向量定理 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝ ，我们把与向量a 的非零向量称为直线l的 . 知识点4　共面向量充要条件 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 例1 【空间向量相关概念】判断正误 (1)零向量没有方向. ( ) (2)两个有公共终点的向量, 一定是共线向量. ( ) (3)空间向量的数乘运算中,只决定向量的大小, 不决定向量的方向. ( ) (4) 若, 则. ( ) (5)若两个向量的起点重合, 则这两个向量的方向相同. ( ) 跟踪训练1.下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 例2 【空间向量运算】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）；         （2）； （3）；        （4）． 跟踪训练2 如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量． (1)； (2)； (3)． 例3 【空间向量共线】已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线. 跟踪训练3、如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 【当堂检学】 1．下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（　　） A． B． C． D． 3．设向量，，不