第26章 二次函数（知识清单+典型例题+变式训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪教版）

第26章 二次函数（知识清单+典型例题+变式训练） 【知识导图】 【知识清单】 考点一．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】．（2023•金山区一模）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝3x2+1 D．y＝ 【分析】根据二次函数定义即可解答． 【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意； C、该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【变式】（2022秋•宝山区校级期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝　　． 【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数， ∴m2﹣m＝2， （m﹣2）（m+1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣1， ∵m+1≠0， ∴m≠﹣1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 考点二．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例2】（2022秋•黄浦区校级月考）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】分类讨论正比例函数和二次函数的图象性质即可得出正确答案． 【解答】解：当a＞0时，y＝ax的函数图象经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图象开口向下，与y轴交于正半轴． 当a＜0时，y＝ax函数图象经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图象开口向上，与y轴交于负半轴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数性质才能灵活解题． 【变式】（2022•长宁区二模）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 考点三．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜