2.4 等腰三角形的判定定理（讲+练，12题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（浙教版）

2.4 等腰三角形的判定定理 1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念 2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理 3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质 知识点一 等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对边”). 数学语言:在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB =AC(等角对等边) 注意:等角对等边的前提是“在同一个三角形中”. 2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别 由三角形的两边相等得出它们所对的角相等,是等腰三角形的性质; 由三角形有两角相等得出它是等腰三角形,是等腰三角形的判定. 等腰三角形的性质:两边相等这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定:两角相等这两角所对的边相等. 即学即练1如图，在中，，是的角平分线，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形． 角平分线＋平行线=等腰三角形 当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现,记住这个基本图形,有助于解题， 即学即练2如图，在直角三角形中，，，点、在上，如果，，那么图中的等腰三角形共有个．（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点二 知识点三等边三角形及其性质 1.等边三角形的概念 二边都相等的三角形是等边三角形 2等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60° 3.数学语言:如图所示，在△ABC中，∵AB=AC=BC,∴∠A=∠B=∠C=60° 注意： (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴; (2)等边三角形任意一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合,简称“三线合一” 即学即练1 如图，等边三角形中，点D为边的中点，过点C作，且，那么吗？请说明理由． 即学即练2 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点E，A 在直线 DC 同侧，连接 AE．求证： （1）△AEC≌△BDC； （2）AE∥BC． 即学即练3 如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则____________； (2)当时，求的长； (3)过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由． (4)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 知识点三 等边三角形的判定 1.定义判定法 三边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形 数学语言:如图所示,在△ABC中，∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60或∠C=60°)， ∴△ABC是等边三角形. 即学即练1下列三角形： ①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．①②③④ 即学即练2 如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． 题型一 格点图中画等腰三角形 例1（2023春·浙江宁波·八年级校联考期末）仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．    (1)在图1中，标出格点P，连结，使平分． (2)在图2中，标出格点Q，连结，使． 举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺按要求画图．           图1              图2 (1)在图1中，已知线段，且A，为格点，画一个以为底边的等腰，要求顶点是格点． (2)在图1中的面积为________． (3)在图2中画的中线． 举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型二 找出图中的等腰三角形 例2（2023秋·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考开学考试）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 举一反三1（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（    ）． A． B． C． D．