2.5 逆命题和逆定理（讲+练，8题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（浙教版）

2.5 逆命题和逆定理 1、了解逆命题和逆定理的概念 2、会写命题的逆命题; 3、知道原命题成立，它的逆命题不一定成立; 知识点一 互逆命题、原命题、逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题(original statement),那么另一个命题叫做它的逆命题(converse statement). 知识点二 逆定理与互逆定理 每个命题都有它的逆命题,但每个真命题的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理(converse theorem)，这两个定理叫做互逆定理 即学即练1 （2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等：③等腰三角形的两个底角相等其中逆命题是真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 即学即练2 （2023秋·河北邢台·八年级统考阶段练习）命题“若两个角互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”的逆命题是 ． 题型一 代数问题证明 例1（2022秋·八年级课前预习）下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 举一反三1（2023春·七年级课时练习）下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 举一反三2（2019·八年级课时练习）命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 题型二 写出一个命题的已知、求证及证明过程 例2（2023·浙江·八年级假期作业）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 举一反三1（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 举一反三2（2023·浙江·八年级假期作业）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程 已知：如图2，点，，，在同一平面内，___________，_____________． 求证：_________________． 题型三 已知证明过程填写理论依据 例3（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 举一反三1（2023春·七年级课时练习）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 举一反三2（2023春·七年级课时练习）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 题型四 根据给出的论断组成命题并证明 例4（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 举一反三1（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 举一反三2（2