专题27 抛物线的简单几何性质7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题27 抛物线的简单几何性质7种常见考法归类 1、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 2、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系 y2＝ax 一次项为x项，x轴为对称轴 a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右 a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左 x2＝ay 一次项为y项，y轴为对称轴 a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上 a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下 3、抛物线的焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径 |PF| |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0 |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0 焦点弦 |AB| |AB|＝ x1＋x2＋p |AB|＝ p－x1－x2 |AB|＝ y1＋y2＋p |AB|＝ p－y1－y2 4、直线与抛物线的位置关系 （1）直线与抛物线有三种位置关系：相交、相离、相切 当直线斜率k存在时，设直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程：k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0. ①若k≠0，则当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 当直线l斜率不存在时，设l：x＝m，m＝0时，l与抛物线相切，有一个公共点；m>0时，l与抛物线相交，有两个公共点；m<0时，l与抛物线相离，没有公共点． （2）直线与抛物线相交弦的弦长公式 当直线斜率k存在时，设直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝· |x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝·. 当直线斜率k不存在时，|AB|＝|y1－y2|. 5、用待定系数法求抛物线方程的步骤 [注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　　 6、根据抛物线的几何性质求抛物线方程 (1)由几何性质先确定抛物线的开口方向和焦点位置，设出抛物线方程； (2)进一步求出参数p(焦准距)，得到抛物线的标准方程． 7、根据抛物线方程求解与几何性质相关的问题 由已知抛物线方程讨论其几何性质时，首先要将方程化为标准方程，确定焦点所在坐标轴和抛物线的开口方向，然后求几何性质中的其他相关量．解题时要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化． 8、抛物线的焦点弦 已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)； (4)＋＝； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 注（1）当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.　　　　 （2）过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问题是抛物线中常见问题.解决此类问题，通常有三种解法： ①焦点弦长公式； ②两点间距离公式； ③弦长公式，其中焦点弦长公式是此类问题的最直接解法，联立方程，利用根与系数关系，可直接求解，省略了求两交点坐标的过程，简便易行.解题时注意整体代入的思想. 9、直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有