3.3幂函数9题型分类-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

3.3幂函数9题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1-1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023秋·广东梅州·高一校考期中）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1-3．（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1-4．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 题型2：求幂函数解析式或求值 2-1．（2023秋·天津北辰·高一校考阶段练习）幂函数的图像过点，则幂函数的解析式为 2-2．（2023·全国·高一课堂例题）设是幂函数，已知，求，． 2-3．（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知幂函数的图象经过点，则的值为 ． 2-4．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2-5．（2023秋·辽宁·高二校联考开学考试）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2-6．（2023·全国·高一专题练习）若是幂函数，则＝ . 2-7．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．2 D． （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型3：幂函数的图象及应用 3-1．【多选】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列结论正确的是（　　） A．幂函数的图象不可能在第四象限内 B．当时，幂函数的图象是一条直线 C．当时，幂函数是增函数 D．当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小 3-2．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 3-3．（2023·全国·高一专题练习）幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3-4．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3-5．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3-6．（2023·全国·高一专题练习）给定一组函数解析式： ①；②；