3.2.2奇偶性7题型分类-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

3.2.2奇偶性7题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1-1．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 1-2．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性： （1） （2）； （3）； （4）． 这几个函数的图象如图所示，你能在图中分别标出对应的函数吗？    1-3．【多选】（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）下列既是偶函数，又在单调增的是（     ） A． B． C． D． 1-4．（2023秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1-5．【多选】（2023秋·新疆·高一校联考期中）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 1-6．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 1-7．【多选】（2023秋·四川乐山·高一校考阶段练习）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 1-8．【多选】（2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确