(配套教参)第四章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准解读 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2 x＋cos2 x＝1，＝tan x．2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． [知识梳理] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1． (2)商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z)． 2．三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋ α(k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变，符号看象限 二 π＋α －sin_α －cos_α tan_α 三 －α －sin_α cos_α －tan_α 四 π－α sin_α －cos_α －tan_α 五 －α cos_α sin_α － 函数名改变，符号看象限 六 ＋α cos_α －sin_α － 常用结论 同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若α，β为锐角，都有sin2 α＋cos2 β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)已知sin(＋2α)＝，则cos(－2α)＝(　　) A．　 B．－　 C．　 D．± 解析：C　∵sin(＋2α)＝， ∴cos(－2α)＝cos[－(＋2α)] ＝sin(＋2α)＝. 3．(教材改编)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　将sin α－cos α＝两边同时平方， 得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－. 4．(多选题)(易错自纠)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈(－，π)，则θ可能等于(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：AD　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－， ∵θ∈(－，π)，∴θ＝－或θ＝. 5．(2023·湖北九师联盟联考)若sin(3π＋α)＝，α∈(π，)，则tan(2023π－α)＝________． 解析：由sin(3π＋α)＝，且α∈(π，)， ∴sin α＝－，cos α＝－＝－. 故tan(2023π－α)＝－tan α＝－＝－. 答案：－ 考点一　诱导公式的应用（基础性） 1．已知sin(x－)＝，则cos(x＋)＝(　　) A．　 B．　 C．－　 D．－ 解析：C　因为sin(x－)＝， 所以cos(x＋)＝cos(＋x－) ＝－sin(x－)＝－. 2．已知a＝tan(－)，b＝cosπ，c＝sin(－π)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>a>c B．a>b>c C．b>c>a D．a>c>b 解析：A　a＝tan(－)＝－tan＝－， b＝cos(6π－)＝cos(－)＝cos＝， c＝sin(－6π－)＝sin(－)＝－sin＝－. 由a2<c2，知a>c，从而b>a>c. 3．已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为________． 解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α) ＝·(－sin α)·cos α ＝·(－sin α)·cos α＝－sin2 α＝－. 答案：－ 4．(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q(cos(θ＋)，sin(θ＋))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值________． 解析：由于点P与Q关于y轴对称． 所以sin θ＝sin(θ＋)，且cos θ＝－cos(θ＋)． 由诱导公式sin θ＝sin(π－θ)，cos θ＝－cos(π－θ)，所以θ＋＝π－θ，解得θ＝， 则符合题意的θ值可以为. 答案：(答案不唯一) 1．诱导公式的两个应用口诀 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到． 2．(1)灵活使用诱导公式的关键是“奇变偶不变，符号看象限”． (2)常见的互余和互补的角 ①互余的角：－α与＋α；＋α与－α等． ②互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 考点二　同角三角函数基本关系（应用性） [角度1]　切弦互化 　(1)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________