(配套教参)第三章 第1节 导数的概念及运算-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第1节　导数的概念及运算 课程标准解读 1．了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． [知识梳理] 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝． (2)几何意义：f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 2．函数y＝f(x)的导函数 在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数． 3．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝0；(2)(xα)′＝αxα－1； (3)(ax)′＝axln_a； (4)(logax)′＝；(5)(sin x)′＝cos_x； (6)(cos x)′＝－sin_x；(7)(ex)′＝ex； (8)(ln x)′＝． 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[]′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu·ux′． 常用结论 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选题)(教材改编)下列导数的运算中正确的是(　　) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C．()′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 解析：ABD　因为()′＝，所以C项错误，其余都正确． 3．(教材改编)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________． 解析：由f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1. 答案：1 4.(易错自纠)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析：B　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小．选项B适合． 5．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为____________． 解析：因为y＝， 所以y′＝＝. 当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 考点一　导数的运算（基础性） 1．下列求导运算正确的是(　　) A．()′＝x　　　　 B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(xcos x)′＝－sin x D．(x－)′＝1＋ 解析：D　因为()′＝－， (x2ex)′＝(x2＋2x)ex， (xcos x)′＝cos x－xsin x， (x－)′＝1＋，故选项D正确． 2．(多选题)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 2x＋e2x，则y′＝－2sin 2x＋e2x D．若f(x)＝2sin(1－2cos2)，则f′(x)＝cos x 解析：ACD　选项A中，y′＝sin，A错误． 选项B，y′＝2xcos x2，正确． 选项C，y′＝－2sin 2x＋2e2x，C错误． 选项D，∵f(x)＝2sin(－cos)＝－sin x， ∴f′(x)＝－cos x，D项不正确． 3．(2023·佛山一中质检)已知函数f(x)＝2xf′(3)－x2＋ln x(f′(x)是f(x)的导函数)，则f(1)＝________． 解析：易得f′(x)＝2f′(3)－x＋， 令x＝3，得f′(3