(配套教参)第七章 助学培优 立体几何中的动态问题-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

立体几何中的动态问题的主要类型有线面位置关系的判断、轨迹问题、最值与范围问题等．解决动态问题的关键在于要注重动态元素所引发的图形变化过程，动中窥静，静中见动，以静制动． 一、空间位置关系的判定 　(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P -A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P [解析]　当λ＝1时，＝＋μ.若μ＝0，则＝，即点P与点C重合，则△AB1P的周长为1＋2；若μ＝，则＝＋，即点P为线段CC1的中点，易得AP＝PB1＝ ＝，所以△AB1P的周长为＋，故A错误．当μ＝1时，由＝λ＋，得点P在线段B1C1上运动，易知S△A1BC为定值，且B1C1∥平面A1BC，所以点P到平面A1BC的距离为定值，所以VP -A1BC为定值，故B正确．当λ＝时，以B1C1的中点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A1(，0，0)，A(，0，1)，B1(0，，0)，C1(0，－，0)，B(0，，1)，C(0，－，1)．由＝＋μ，得P(0，0，1－μ)，所以＝(0，－，－μ)，＝(－，0，1－μ)．由·＝0＋0－μ(1－μ)＝0，得μ＝0或μ＝1，故C错误．当μ＝时，因为⊥，所以要使A1B⊥平面AB1P，只需⊥.由＝λ＋，得P(0，－λ，)，则＝(－，－λ，－)，＝(－，，1)．由·＝0，得＋－λ－＝0，解得λ＝1，故D正确．选BD． [答案]　BD 空间位置关系的动点问题的解法 (1)应用位置关系的判定与性质定理转化； (2)利用向量法、建立坐标系计算． 1．(多选题)如图所示，在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1(包含边界)内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的是(　　) A．A1F与BE是异面直线 B．A1F不可能与D1E平行 C．DF不可能与平面AD1E垂直 D．三棱锥F-ABD1的体积为定值 解析：ACD　如图，取BB1，B1C1的中点N，M，连接A1M，A1N，MN，BC1，DF，则A1N∥D1E，MN∥BC1∥AD1，又A1N⊂平面A1MN，MN⊂平面A1MN，A1N∩MN＝N，D1E⊂平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，D1E∩AD1＝D1，所以平面A1MN∥平面D1AE，又A1F∥平面D1AE，A1F⊂平面A1MN，所以点F的轨迹是线段MN.对于A：因为MN∥BC1，所以点F一定不在BC1上，所以A1F与BE是异面直线，故A正确；对于B：当点F与点N重合时，A1F∥D1E，故B不正确；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中DB1⊥平面AD1E，若DF⊥平面AD1E，则DB1∥DF，这显然不可能，所以DF不可能与平面AD1E垂直，故C正确；对于D：因为MN∥AD1，AD1⊂平面ABD1，MN⊄平面ABD1，所以MN∥平面ABD1，所以点F到平面ABD1的距离是定值，所以三棱锥F-ABD1的体积为定值，故D正确．故选ACD． 二、轨迹问题 　如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序号) [解析]　在△ABC中，|BC|＝λ|AC|，当λ＝1时，|BC|＝|AC|，过AB的中点作线段AB的垂面β(图略)，则点C在α与β的交线上，所以点C的轨迹是一条直线． 当λ＝2时，|BC|＝2|AC|，设B在平面α内的射影为D，连接BD，CD，AD(图略)． 设|BD|＝h，则|BC|＝. 设|AD|＝2a，在平面α内，以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，则A(－a，0)，D(a，0)， |CA|＝， |CD|＝， |CB|＝＝， 所以＝2， 化简可得(x＋a)2＋y2＝＋， 所以当λ＝2时，点C的轨迹是圆．故②③正确． [答案]　②③ 求动点的轨迹问题要分析寻找动点运动过程中的“定”，空间中的动点一般要转化为平面内的动点，结合常见曲线的定义求解． 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为(　　) A．　　 B．　　 C．